【好文推荐】足球中的数学

　　卡塔尔世界杯

　　FIFA World Cup Qatar 2022

　　2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Cup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛。

　　除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛。

　　FIFA World Cup Qatar 2022

　　世界杯足球赛火热进行中，其中蕴含着丰富的数学知识，今天小编就来和大家聊聊这里面的知识~

　　Part.1

　　世界杯中的排列组合

　　5月31日，2002年韩日世界杯足球赛开幕，参赛的32支球队分成8个小组，按照世界杯足球赛的规则，小组赛时每个小组4个队进行单循环比赛，每个队有3场比赛。每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分，小组赛结束后，积分最高的两队出线，如果积分相同，则净胜球多的球队胜出，继而都以淘汰赛的形式分别进行1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、总决赛。问:

　　（1）本届世界杯共进行多少场比赛？大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　（2）假设某队小组赛后积6分，请分析该队是否能出线？请说明理由及多少分可以确保出线？

　　分析

　　(1)根据题意，小组赛时，每组4支队中每队都与其余3支队比赛一场。但考虑重复计算，则小组赛中每组计(3×4)/2=6场比赛；1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、总决赛分别计8、4、2、1、1场比赛；故本届世界杯共进行了6×8+8+4+2+1+1=64场比赛。

　　(2)①若该队小组赛后积6分，则该队不一定出线。这是因为:假设同一组中4支队分别记a、b、c、d，不妨设a胜b、c，b胜c、d，d胜a、c，则c全负。此时a、b、d这3支队各积6 分，c队积0分，显然a、b、d这3支队中必有1支队会因净胜球最少而被淘汰。因此该队不一定出线。

　　②若该队小组赛后积7分或7分以上，则该队可确保出线。这是因为：假设该队不能确保出线，则至少还有2支队积分均不少于7分，从而总积分不少于21分。另一方面，每场比赛后两队得分和是2或3，则6场比赛各队总积分不超过18分。矛盾！因此积7分或7分以上可确保出线。

　　另证：因为每场比赛后2支队得分和是2(即打平)或3分(分胜负)，所以小组6场比赛后各队的积分总和不超过18分。如果一支球队积7分或7分以上，剩下的3支队得分和不超过11分,也就不可能再有2支球队的积分均大于或等于7分。从而积7分或7分以上的这支队一定出线。

　　注：

　　(1)积6分或5分也基本出线。如果一支球队积6分，只有在三支球队同积6分、一支球队积0分的情况下，有一支积6分的球队才会被淘汰，一般情况下是会出线的。另外，积4分或3分也有出线的可能，不过积2分、1分或0分的球队都不可能出线(限于篇幅，不再赘述)。

　　(2)这里是对球队积分能否出线的理论分析，并未考虑各支球队间的实力悬殊。

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　　足球中的几何知识

　　足球是由许多块黑、白两色皮粘合或缝制加工而成.其中黑块皮均呈球面正五边形，白块皮均呈球面正六边形。表面之间具有下列特征：

　　(1)黑块皮周围都是白块皮；

　　(2)每两个相邻的球面正多边形恰好有一条公共边；

　　(3)每个顶点都是相邻三块皮的公共点，且为一黑二白(如图所示)。

　　求图中球面正五边形和球面正六边形的个数。

　　分析

　　设球面正五、六边形分别有x、y个。为了便于说明与求解，不妨将每条弧拉直，则球变成了简单多面体。从而面数F=x+y。由于每条棱均为二个面的交线,棱数E=(5x+6y)/2；又每个顶点均为三个面的公共点，顶点数V=(5x+6y)/3。

　　根据欧拉定理：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系：V+F-E=2。

　　得，(5x+6y)/3+(x+y)-(5x+6y)/2=2. ①

　　又因为每个正五边形周围有5个正六边形，而每个正六边形周围有3个正五边形,所以y=5x/3 ②

　　解①、②，可得，x=12 ; y= 20.

　　此时,面数为32，顶点数为60，棱数为90。所以，足球上球面正五边形有12个，球面正六边形有20个。

　　Part.3

　　足球场上的几何知识

　　足球场必须是绿色，必须是长方形，两条较长的边叫做边线(touch line)，长度90-120米；较短的边叫做端线(goalline)，长度45-90米。国际比赛标准是边线100-110米，端线64-75米。场地被中线(halfway line)划分为两个半场，中线的中点(centre mark)处做一个中心标记，以中点为圆心，9.15米(10码)为半径画圆，称为中圈(centre circle)。国际足联规定的标准足球场场地大小为105米*68米，面积为7140平方米，周长为346米。

　　那么1km² 相当于多少个标准足球场的大小?

　　1000000÷7140≈140(个)，以足球场为参考，对于建立1平方千米的量感有好处。

　　Part.4

　　踢球中的几何知识

　　足球比赛的魅力在于运用技术射门得分，能否用脚或头将球射进对方球门，是比赛胜负的关键。为了摆脱防守队员的封堵，寻求最佳射门机会，常常需要在跑动中快速射门，对角度、力量、距门距离、触球部位的要求比较高。合适的角度、距离、力度与方向，能够增加破门得分的机会。

　　国际足联规定的标准球门宽度是7.32m，从横梁下沿到地面的距离是2.44m。根据射门距离可分为：近射(10m以内)、远射(20m以外)、中距离射(介于二者之间)；根据来球高低可分为：地滚球、反弹球、凌空球；根据球飞行的路线可分为：直线球、弧线球。

　　现以地滚球为例，甲方前锋从乙方所守球门附近带球过人，沿直线向前推进，已知前进方向的直线与底线垂直，交底线于球门AB的延长线上的H点，设前锋距底线的距离为x，H点与最近的球门A点的距离为y，那么入射角α应该在什么样的范围里呢？

　　分析

　　利用简单的计算可以得知入射角α的正切值应该满足y/x < tanα < (y+7.32)/x 。若起脚后,球凌空。设 ABCD 为球门的垂直平面，O为起射点，l为过O点且与AB平行的直线。O与CD所在直线确定平面为γ，水平面为β。二面角γ-l-β的平面角为θ。那么，tanθ=2.44/x，∠AOD<θ，∠BOC<θ。因此,要想射球入网，中央射球的高度角或斜射角必须小于θ。若大于，可能射高；若等于，可能打在门柱上。入射角α则必须满足上面的不等式，否则会射偏。

　　足球场上的数学知识还有很多，这里只是简单地讲述了一些。我们在享受世界杯足球盛宴的同时，不妨也思考一下。了解规则、享受过程，我们会发现数学知识无处不在。

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